Ток вероятности

В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

Определение

Ток вероятности [math]\displaystyle{ \vec j }[/math] определяется как

[math]\displaystyle{ \vec j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\vec\nabla\Psi) }[/math]

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0 }[/math]

с плотностью вероятности [math]\displaystyle{ \rho }[/math], заданной

[math]\displaystyle{ \rho = |\Psi|^2 }[/math].

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} \int\limits_V |\Psi|^2 dV + \int\limits_S \vec j \cdot \vec {dS} = 0 }[/math]

где [math]\displaystyle{ V }[/math] — объём и [math]\displaystyle{ S }[/math] — граница объёма [math]\displaystyle{ V }[/math]. Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах [math]\displaystyle{ V }[/math], когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема [math]\displaystyle{ V }[/math].

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в [math]\displaystyle{ V }[/math] равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из [math]\displaystyle{ V }[/math].

Примеры

Плоская волна

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

[math]\displaystyle{ \Psi = A e^{i\vec k \cdot \vec r} e^{-i \omega t} }[/math]

запишется в виде

[math]\displaystyle{ \vec j = \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{i\vec k \cdot \vec r} - e^{i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{-i\vec k \cdot \vec r} \right) = |A|^2 \frac{\hbar \vec k}{m}. }[/math]

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

[math]\displaystyle{ \vec v = \frac{\vec p}{m} = \frac{\hbar \vec k}{m} }[/math].

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

[math]\displaystyle{ \frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0 }[/math]

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длиной [math]\displaystyle{ L }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt L }[/math]), волновые функции запишутся в виде

[math]\displaystyle{ \Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right) }[/math]

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

[math]\displaystyle{ j_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0 }[/math]

поскольку [math]\displaystyle{ \Psi_n = \Psi_n^*. }[/math]

Вывод уравнения непрерывности

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math], и [math]\displaystyle{ z }[/math]). Тогда

[math]\displaystyle{ P = \int\limits_V |\Psi|^2 dV }[/math]

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int\limits_V |\Psi|^2 dV = \int\limits_V \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) dV }[/math]

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма [math]\displaystyle{ V }[/math] не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

[math]\displaystyle{ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V\Psi }[/math]

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от [math]\displaystyle{ \Psi }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 \Psi - \frac{i}{\hbar} V \Psi }[/math]

Результат подстановки в предыдущее уравнение для [math]\displaystyle{ \frac{dP}{dt} }[/math] даёт

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dt} = - \int\limits_V \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right) dV }[/math].

Теперь после перехода к дивергенции

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) = \vec \nabla \Psi^* \cdot \vec \nabla \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \vec \nabla \Psi \cdot \vec \nabla \Psi^* - \Psi \vec \nabla^2 \Psi^* }[/math]

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dt} = - \int\limits_V \vec \nabla \cdot \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) dV }[/math]

Если теперь вспомним выражение для [math]\displaystyle{ P }[/math] и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть [math]\displaystyle{ \vec j }[/math] тогда запишем выражение

[math]\displaystyle{ \int\limits_V \left( \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j \right) dV = 0 }[/math]

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов [math]\displaystyle{ V }[/math], и интеграл можно опустить:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0. }[/math]